Perfil de Temperatura - Método Implícito Diferencias Finitas en VBA

Perfil de Temperatura Placa Bidimensional Estado Estacionario

En este artículo les comparto una Macros que nos será de utilidad para solucionar de forma fácil y rápida el problema de conducción de calor a través de una placa bidimensional en estado estacionario. Con el objetivo de poner en práctica, sólo basta con introducir la información requerida en las casillas como las longitudes, número de puntos a calcular, y las temperaturas en las fronteras de la placa. Como resultado, obtendremos el perfil de temperatura, y luego, estamos listos para probar mas combinaciones y analizar los resultados.

Figura 1. Screenshot del programa

Figura 2. Vista de los resultados mostrados por el programa

Con el fin de entender el código en VBA revisaremos un poco la teoría. A continuación, se explicarán las ecuaciones utilizadas para resolver el problema, y luego, se planteará la solución numérica. En este caso, el resultado se obtuvo a partir del método implícito de diferencias finitas.

Diferencias finitas – Ecuación de Laplace

En este caso, la distribución de temperatura en estado estacionario en una placa bidimensional (conducción a través del eje z despreciable) con conductividad térmica constante y sin fuentes de calor, debe satisfacer la siguiente ecuación derivada del balance de energía general,

Ec 1. Ecuación de Laplace

conocida como la ecuación de Laplace. La solución numérica de esta ecuación diferencial parcial elíptica se hace expresando la ecuación en términos de diferencias-finitas y la placa es tratada como una malla de elementos finitos, en donde cada nodo debe satisfacer la ecuación principal. A continuación, se presentan las ecuaciones en diferencias centradas:

Ec 2. Diferencia parcial expresada en diferencias finitas

Sustituyendo en la ecuación de Laplace se obtiene la ecuación de trabajo:

Ec 3. Ecuación diferencial Laplaciana

Luego, para cada nodo al interior de la placa se debe aplicar la ecuación de balance y reemplazar los valores de las temperaturas de frontera que son conocidas y dejar como incógnitas las temperaturas que se quieren hallar. Después de realizar esta dispendiosa labor, obtendremos un sistema de ecuaciones algebraicas con un número de incógnitas y ecuaciones igual al número de puntos de temperatura que queremos encontrar. Finalmente, debemos expresar nuestro sistema de ecuaciones de la forma matricial [A][X]=[B], con el fin de hallar el perfil de temperaturas de nuestro problema.

Si están interesados en conocer cómo desarrollé el código del programa, abajo les dejo el archivo para que lo revisen, de igual forma, las líneas y comandos del código tienen los apuntes explicando que significa cada instrucción. Queda de tarea para el lector, comprobar las deducciones hechas para la construcción de las matrices de solución.

Aquí dejo el link de descarga: 
https://mega.nz/#!B0QBCYpJ!rPzDtevyZakwQP2YJ0OyU0Ohm9iMbeeQKq125XKq42Q

Dejen sus comentarios si les gusto este artículo. Espero les haya servido!

Hasta la próxima!!